Чебышев Пафнутий Львович

Материал из WikiSchool
Перейти к: навигация, поиск

Пафну́тий Льво́вич Чебышёв (Шаблон:OldStyleDate2, Окатово, Боровский уезд, Калужская губерния — Шаблон:OldStyleDate2, Санкт-Петербург) — русский Шаблон:Математик и Шаблон:Механик, основоположник петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук (с 1859 года)Шаблон:Sfn и ещё 24 академий мираШаблон:Sfn

Чебышёв был «величайший, наряду с Н. И. Лобачевским, русский математик XIX века»Шаблон:Sfn. Он получил фундаментальные результаты в теории чисел (распределение простых чисел) и теории вероятностей (центральная предельная теорема, закон больших чисел), построил общую теорию ортогональных многочленов, теорию равномерных приближений и многие другие. Основал математическую теорию синтеза механизмов и разработал ряд практически важных концепций механизмов.

Произношение и написание фамилии

Фамилию учёного — по его собственному указанию — следует произносить «Чебышо́в»Шаблон:Sfn; в XIX веке такое произношение данной старинной дворянской фамилии (писавшейся тогда — в условиях традиционного неразличения е/ё на письме — как «Чебышевъ») было весьма распространено<ref name=unbegaun>Шаблон:Книга</ref> (предполагают, что эта фамилия по своему происхождению является кратким притяжательным прилагательным, образованным от антропонима Чебыш с ударением на окончании в косвенных падежах и на последнем слоге основы в именительном падеже<ref>Шаблон:Книга</ref>).

В XX веке в связи с тенденцией к обособлению фамилий на -ов/-ёв от исходных притяжательных прилагательных<ref name=unbegaun/> и всё ещё распространённым неразличением на письме е/ё получило довольно широкое распространение ошибочное произношение «Че́бышев» (с ударением на первом слоге) — несмотря на чёткие рекомендации авторитетных источников<ref>Шаблон:Sfn0. В заголовке статьи: «Чебышев (произносится Чебышёв) Пафнутий Львович…»</ref><ref>Шаблон:Книга</ref>. 4-е издание академического «Русского орфографического словаря» (2013)<ref>Шаблон:Публикация</ref>, словарь ударений «Собственные имена в русском языке» (2001)<ref>Шаблон:Книга</ref> и профильные академические издания<ref>Шаблон:Публикация</ref><ref>Шаблон:Публикация</ref>, последовательно использующие букву ё при передаче имён и названий, фиксируют в качестве орфографической и орфоэпической нормы написание и произношение Чебышёв.

Биография

Пафнутий Чебышёв родился Шаблон:СС3 года в селе Окатово Боровского уезда Калужской губернии (ныне село Акатово Жуковского района Калужской области) в семье богатого землевладельца, представителя старинного русского дворянского рода Чебышёвых Льва Павловича Чебышёва — участника Отечественной войны 1812 года и взятия Парижа в 1814 годуШаблон:SfnШаблон:Sfn. Дата рождения дана в соответствии с обнаруженной В. Е. Прудниковым записью в метрической книге храма Преображения Господня в селе Спас-Прогнанье Калужской губернии<ref>Шаблон:Книга — С. 189—192.</ref>Шаблон:Sfn (во многих источниках приводитсяШаблон:SfnШаблон:Sfn дата 14 (26) мая, указанная К. А. Поссе в статье «Чебышёв, Пафнутий Львович» из энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона<ref>Шаблон:ВТ-ЭСБЕ</ref>).

Первоначальное воспитание и образование получил дома: грамоте его обучила мать Аграфена Ивановна, арифметике и французскому языку — двоюродная сестра Авдотья Квинтилиановна Сухарёва. Кроме того, с детства Пафнутий занимался музыкойШаблон:Sfn. Одним из детских увлечений будущего учёного было изучение механизмов игрушек и автоматов, причём он и сам придумывал и мастерил разные механические игрушки. Этот интерес к механизмам сохранялся у Чебышёва и в зрелые годыШаблон:Sfn.

В 1832 году семья переехала в Москву, чтобы продолжить образование взрослеющих детей. В Москве с Пафнутием математикой и физикой занимался П. Н. Погорельский — один из лучших учителей Москвы, у которого в том числе учился, в пансионе Вейденгаммера, и Иван ТургеневШаблон:SfnШаблон:Sfn. Латынь Пафнутию Чебышёву преподавал в то время студент-медик, а в будущем главный врач Шереметевской больницы А. Т. Тарасенков, за которого впоследствии вышла замуж сестра Пафнутия — Елизавета Чебышёва<ref>Шаблон:Статья — С. 18—30.</ref><ref>Шаблон:Статья — С. 35—39.</ref>.

Летом 1837 года Чебышёв начал изучение математики в Московском университете на втором физико-математическом отделении философского факультета. Существенное влияние на формирование круга научных интересов молодого Чебышёва оказал его учитель — профессор прикладной математики и механики Московского университета Николай Дмитриевич Брашман; благодаря ему, в частности, Чебышёв познакомился с работами французского инженера Жана-Виктора ПонселеШаблон:Sfn.

В 1840/1841 учебном году, участвуя в студенческом конкурсе, Чебышёв получил серебряную медаль за работу по нахождению корней уравнения n-й степени (сама работа была написана им ещё в 1838 году и сделана на основе алгоритма Ньютона)Шаблон:Sfn<ref>Шаблон:Книга — С. 193—197.</ref>.

В 1841 году Пафнутий Чебышёв окончил Московский университет. В это время дела его родителей из-за голода, охватившего в 1840 году значительную часть России, пришли в расстройство, и семья больше не могла материально поддерживать своего сына. Однако выпускник университета, невзирая на своё крайне стеснённое материальное положение, упорно продолжал заниматься наукойШаблон:SfnШаблон:Sfn. В 1846 году он успешно защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей»Шаблон:Sfn.

В 1847 году Чебышёв был утверждён в звании адъюнкт-профессора Петербургского университета. Чтобы получить право лекций в университете, он защитил ещё одну диссертацию — на тему «Об интегрировании с помощью логарифмов», после чего читал лекции по высшей алгебре, теории чисел, геометрии, теории эллиптических функций и практической механикеШаблон:SfnШаблон:Sfn. Не раз он читал и курс теории вероятностей, изъяв из него расплывчатые формулировки и неправомерные утверждения и превратив его в строгую математическую дисциплинуШаблон:Sfn.

В 1849 году Чебышёв защитил в Петербургском университете докторскую диссертацию «Теория сравнений», после чего в 1850 году он стал профессором Петербургского университета; данную должность он занимал до 1882 годаШаблон:Sfn. Работая в Петербургском университете, Чебышёв близко сошёлся с профессором прикладной математики О. И. Сомовым, который тоже был учеником Н. Д. Брашмана, и эти отношения переросли в глубокую дружбу. В семейном плане Чебышёв был одинок, и это обстоятельство также способствовало его сближению с большой семьёй СомоваШаблон:Sfn.

Файл:PL Chebyshev.jpg
П. Л. Чебышёв. 1860-е годы

В 1852 году Чебышёв совершил научную командировку в Великобританию, Францию и Бельгию, в ходе которой он ознакомился с практикой зарубежного машиностроения, с музейными коллекциями машин и механизмов, с работой заводов и фабрик, а также встречался с крупнейшими математиками и механиками: О. Коши, Ж. Лиувиллем, Ж.-А. Серре, Л. Фуко, Ш. Эрмитом, Дж. Сильвестром, А. Кэли, Т. Грегори. После этого он некоторое время преподавал практическую механику в Петербургском университете и Александровском лицееШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В 1853 году академики П. Н. Фусс, В. Я. Струве, Б. С. Якоби, В. Я. Буняковский представили Чебышёва к избранию в адъюнкты Петербургской академии наук, особо отметив важность его работ в области практической механики. В том же году он был избран в адъюнкты, а в 1856 году стал экстраординарным академиком. В 1858 году в связи с его работами по теории шарнирных параллелограммов и теории приближения функций академики В. Я. Буняковский, М. В. Остроградский, Э. Х. Ленц, Б. С. Якоби, А. Я. Купфер, О. В. Струве подписали представление к избранию Чебышёва ординарным академиком, что и произошло в следующем годуШаблон:Sfn.

В 1863 году особая «Комиссия Чебышёва» принимала деятельное участие от Совета Санкт-Петербургского университета в разработке Университетского устава. Университетский устав, подписанный Александром II 18 июня 1863 года, предоставлял автономию университету как корпорации профессоров. Этот устав просуществовал до эпохи контрреформ правительства Александра III и рассматривался историками как наиболее либеральный и удачный университетский регламент в России XIX — начала XX вековШаблон:Sfn.

П. Л. Чебышёв умер Шаблон:СС3 года за письменным столомШаблон:Sfn. Погребён в родном имении, в селе Спас-Прогнанье (ныне Жуковского района Калужской области) у храма Преображения Господня, рядом с могилами родителейШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Научная деятельность

Математика

Основные математические исследования П. Л. Чебышёва относятся к теории чисел, теории вероятностей, теории приближения функций, математическому анализу, геометрии, прикладной математикеШаблон:Sfn.

Творческий метод Чебышёва отличало стремление к увязке проблем математики с вопросами естествознания и техники и к соединению абстрактной теории с практикойШаблон:Sfn. Учёный указывал: «Сближение теории с практикою даёт самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает: сами науки развиваются под влиянием её: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных… Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий её, то она ещё более приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике»Шаблон:Sfn.

Теория чисел

Из многочисленных открытий Чебышёва надо упомянуть прежде всего работы по теории чисел. Начало им было положено докторской диссертацией Чебышёва «Теория сравнений», напечатанной в 1849 году; она стала первой отечественной монографией по теории чисел. Этот труд несколько раз переиздавался, был переведен на немецкий и итальянский языкиШаблон:Sfn.

В 1851 году появился знаменитый его мемуар «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины»<ref>Шаблон:Книга</ref>. К этому моменту была известна недоказанная гипотеза Лежандра, согласно которой функция распределения простых чисел <math>\pi(x)</math> приближённо равна:

<math>\pi(x)\;\approx\;\frac{x}{\ln x - 1{,}08366}</math>

Чебышёв обнаружил гораздо лучшее приближение — интегральный логарифм (это предположение впервые высказал Гаусс в письме Энке (1849), однако не смог его обосновать):

<math>\pi(x)\;\approx\;{\rm li}\,x\;\equiv\;\int\limits_2^x\frac{{\rm d}t}{\ln t}</math>

Чебышёв показал, что предел отношения <math>\frac{\pi(x)}{{\rm li}\,x}</math> не может быть отличным от 1, и дал оценку возможным отклонениям <math>\pi(x)</math> от интегрального логарифма. Он также показал, что предел отношения <math>\frac{\pi(x)}{x/\ln x}</math> не может отличаться от 1. Позднее (в 1896 году) существование обоих пределов доказали — независимо друг от друга — Ж. Адамар и Ш. Ж. Валле-ПуссенШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Этот мемуар принёс 30-летнему Чебышёву общеевропейскую известность. В следующем году (1852) Чебышёв опубликовал новую статью «О простых числах». В ней он провёл глубокий анализ сходимости рядов, зависящих от простых чисел, нашёл критерий их сходимости. В качестве приложения этих результатов он впервые доказал «постулат Бертрана» (выдвинутую Ж. Л. Бертраном гипотезу о том, что при <math>n>3</math> между натуральными числами <math>n</math> и <math>2n-2</math> находится по крайней мере одно простое число) и дал новую, весьма точную оценку для <math>\pi(x)</math>:

<math>0{,}92129 < \frac{\pi(x)}{x/\ln x} < 1{,}10555</math>

(данное неравенство позже сумели несколько усилить Дж. Сильвестр и И. Шур)Шаблон:Sfn<ref name=XIX160/>Шаблон:Sfn.

Чебышёв много занимался теорией квадратичных форм и связанными с ней проблемами делимости натуральных чисел и их разложения на простые множители. В своей статье 1866 года «Об одном арифметическом вопросе» он, используя аппарат непрерывных дробей, исследовал диофантовы приближения целых чиселШаблон:Sfn. В аналитической теории чисел он одним из первых использовал гамма-функциюШаблон:Sfn.

Теория вероятностей

Чебышёв стал первым русским математиком мирового уровня и в теории вероятностей. С 1860 года он сменил В. Я. Буняковского на кафедре теории вероятностей Петербургского университета и начал свой цикл лекций. Он опубликовал по данной теме всего четыре работы, но фундаментального характера. В статье «О средних величинах» (1866 год) было впервые доказано «неравенство Чебышёва», позднее усиленное Марковым:

<math>\mathbb{P}\left(|x - Mx|\geqslant k \sigma \right) \leqslant \frac{1}{k^2}</math>
Файл:Txebixev 01.png
Неравенство Чебышёва, ограничивающее вероятность больших отклонений случайной величины от своего математического ожидания

Эта формула означает, что вероятность отклонения любой случайной величины <math>x</math> от её среднего значения (математического ожидания) <math>Mx</math> более чем на <math>k</math> стандартных отклонений (<math>\sigma</math>) не превышает <math>~\frac{1}{k^2}</math>. Например, отклонение более чем на <math>5 \sigma</math> имеет вероятность не более 1/25, то есть 4 %.

Хотя указанное неравенство впервые было опубликовано (без доказательства) И.-Ж. Бьенэме в 1853 году, за ним закрепилось название «неравенство Чебышёва» — в значительной мере потому, что П. Л. Чебышёв не только дал вывод этого неравенства, но и успешно применил его для решения важной проблемы — обоснования закона больших чисел<ref>Шаблон:Книга — 1248 стб. — Стб. 842—843.</ref>.

Именно, в качестве следствия данного неравенства Чебышёв получил чрезвычайно общую формулировку закона больших чисел: если математические ожидания серии <math>n</math> случайных величин и квадраты этих математических ожиданий ограничены в совокупности, то среднее арифметическое этих величин с ростом <math>n</math> сходится к среднему арифметическому для их математических ожиданий. Из этой теоремы получаются как следствия теоремы Бернулли и Пуассона; Чебышёв впервые строго оценил точность этих теорем и других приближенийШаблон:Sfn.

В этой же статье П. Л. Чебышёв впервые чётко обосновал общепринятую сегодня точку зрения на понятие случайной величины как на одно из основных понятий теории вероятностей<ref>Шаблон:Книга — 1248 стб. — Стб. 9—10.</ref>.

В 1887 году появилась статья Чебышёва «О двух теоремах относительно вероятностей». В этой работе он установил, что при некоторых (достаточно общих) условиях выполняется центральная предельная теорема: сумма большого числа независимых случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями (например, погрешностей измерения) распределена приближённо по нормальному закону, и тем точнее, чем больше слагаемых в сумме. Этот результат по своей общности далеко перекрывает теорему Муавра — Лапласа и все её аналоги<ref>Шаблон:Книга</ref>. В ходе поисков доказательства теоремы Чебышёв разработал — для случая сходимости к нормальному распределению — метод, известный сейчас как метод моментов, то есть метод определения распределения вероятностей по его моментамШаблон:Sfn<ref>Шаблон:Книга — 1184 стб. — Стб. 792—793.</ref>.

Доказывая свой вариант центральной предельной теоремы, Чебышёв допустил логический пробел: оказалось, что — в дополнение к указанным Чебышёвым условиям применимости теоремы — следует ещё потребовать, чтобы среднее арифметическое дисперсий при стремлении <math>n</math> к бесконечности имело предел. Данный недостаток был вскоре исправлен А. А. МарковымШаблон:Sfn.

Обе упомянутые теоремы Чебышёва занимают центральное место в теории вероятностей. Особенно важно то обстоятельство, что Чебышёв не только указал предельное распределение, но в обоих случаях детально проанализировал границы возможных отклонений от этого предела<ref name=KOLMO1947>Шаблон:Статья</ref>. Исследования П. Л. Чебышёва продолжили его ученики, в первую очередь А. А. Марков и А. М. ЛяпуновШаблон:Sfn.

Теория приближения функций

Хотя теория приближения функций имеет достаточно богатую предысторию, собственно историю этого раздела математики принято исчислять с 1854 года, когда была опубликована статья П. Л. Чебышёва «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов». Она стала первой из серии работ учёного по «функциям, наименее уклоняющимся от нуля» (исследованиям в данной области Чебышёв посвятил сорок лет)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

В упомянутой статье Чебышёв пришёл к выводу, что для приближения аналитической функции <math>f</math> на некотором отрезке <math>[a,b]</math> алгебраическим многочленом заданной степени формула Тейлора недостаточно эффективна, и поставил общую задачу о нахождении для заданной непрерывной функции многочлена наилучшего равномерного приближенияШаблон:Sfn. За меру уклонения функции <math>f</math> от нуля он принял величину

<math>\max_{x\in [a,b]}|f(x)|\;</math>;

сейчас её называют либо (следуя Чебышёву) уклонением от нуля<ref>Шаблон:Книга — С. 363.</ref>, либо чебышёвской нормой функции <math>f</math><ref name="ver">Шаблон:Книга — С. 393—395.</ref>. Фактически речь идёт о равномерной метрике в пространстве <math>C[a,b]</math> непрерывных функций на отрезке <math>X\equiv[a,b]</math>; в этой метрике за меру различия между функциями <math>f</math> и <math>g</math> принимается величина

<math>d(f,g)\, = \,\max\limits_X |f(x)-g(x)|\,\,</math>.

В соответствии с этим среди многочленов степени, не превышающей <math>n</math>, многочленом наилучшего равномерного приближения для функции <math>f</math> является такой многочлен <math>U</math>, для которого чебышёвская норма разности <math>f-U</math> минимальна<ref name="ver"/>Шаблон:Sfn.

Чебышёв установил характеристическое свойство такого многочлена: многочлен <math>U</math> будет многочленом наилучшего равномерного приближения тогда и только тогда, когда на отрезке <math>[a,b]</math> найдутся такие <math>n+2</math> точки <math>X_i</math>, что в них разность <math>f-U</math> поочерёдно принимает свои максимальное и минимальное значения, равные по модулю (точки чебышёвского альтернанса). Позднее, в 1905 году, Э. Борель доказал существование и единственность многочлена наилучшего равномерного приближения<ref name="ver"/>Шаблон:Sfn. Начиная с середины XX века многочлены наилучшего приближения весьма часто используют в стандартных компьютерных программах для вычисления элементарных и специальных функций<ref>Шаблон:Книга — C. 22—23.</ref>.

Аналогичный результат Чебышёв получил и для наилучшего равномерного приближения непрерывной функции рациональными дробями с фиксированными степенями числителя и знаменателяШаблон:Sfn.

П. Л. Чебышёв поставил и решил задачу о нахождении многочленов, наименее уклоняющихся от нуля: на отрезке <math>[-1,1]</math> это — такие многочлены степени <math>n</math> с коэффициентом 1 при старшем члене, для которых уклонение от нуля на данном отрезке минимально. Оказалось, что решением данной задачи служат многочлены <math>\overline{T}_n(x)=T_n(x)/2^{n-1}</math> с чебышёвской нормой, равной <math>1/2^{n-1}</math> (они лишь числовым множителем отличаются от многочленов Чебышёва 1-го рода). Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля на произвольном отрезке <math>[a,b]</math>, получаются из рассмотренных линейной заменой независимой переменной<ref>Шаблон:Книга — С. 58.</ref>Шаблон:Sfn.

Введённые П. Л. Чебышёвым многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля, получили применение, в частности, в вычислительной линейной алгебре. Именно, начиная с 1950-х годов при решении систем линейных уравнений вида <math>Ax=b</math> с симметричной положительно определённой матрицей <math>A</math> получил распространение чебышёвский итерационный метод. Это — видоизменение метода простых итераций, в простейшем своём варианте имеющее вид

<math>x^{k+1}\; = \;x^k\,-\,\tau_k\,(Ax^k-b)\,,\;\;k=0,1,\, \dots</math>

(<math>x^k</math> — очередное приближение к точному решению системы), причём параметры <math>\tau_k</math> подбираются из условия: норма погрешности приближённого решения должна за очередной цикл из <math>N</math> итераций (<math>N</math> задано заранее) уменьшаться максимально быстро. Оказалось, что если <math>m</math> и <math>M</math> — нижняя и верхняя границы для собственных значений матрицы <math>A</math>, то на каждом цикле за <math>\tau_k</math> следует брать числа, обратные значениям корней многочлена, наименее уклоняющегося от нуля на отрезке <math>[m,M]</math> (при этом для обеспечения вычислительной устойчивости корни берут не подряд, а переупорядочивают специальным образом)<ref>Шаблон:Книга — C. 175—179.</ref><ref>Шаблон:Книга — 1248 стб. — Стб. 848—850.</ref>. Наиболее важные приложения данный метод нашёл при численном решении эллиптических краевых задач<ref>Шаблон:Книга — C. 154—159.</ref>.

Эта и последующие работы Чебышёва были весьма оригинальными — как по постановке задач, так и по предложенным методам их решения. Предложенная Чебышёвым постановка задачи о приближении функции существенно отличается от другого известного подхода, когда для оценки различия двух функций <math>f</math> и <math>g</math> часто используют какую-нибудь усреднённую характеристику разности этих функций — например, метрику <math>L_2</math> Лебега<ref>Шаблон:Книга — С. 356—358.</ref>:

<math>d(f,g) = \sqrt{ \, \int\limits_X (f(x)-g(x))^2\, \mu({\rm d}x)}</math>

(задача о наилучшем среднеквадратичном приближении)<ref>Шаблон:Книга — 1216 стб. — Стб. 603—609.</ref>Шаблон:Sfn.

Подход Чебышёва отличается тем, что в качестве критерия близости двух функций берётся не среднее, а максимальное их различие (чебышёвская норма разности функций). Этот подход предпочтителен во многих практических ситуациях — например, при работе механизма даже кратковременное существенное отклонение текущих параметров от стандартных может привести к снижению его работоспособности или даже разрушениюШаблон:Sfn. Аналогичные требования предъявляют картография (максимальное искажение масштаба на карте должно быть невелико), механика точных часовых механизмов и т. п.Шаблон:Sfn

Для картографии Чебышёв сформулировал в 1856 году теорему: «наивыгоднейшая конформная проекция для изображения какой-нибудь части земной поверхности на карте есть та, в которой на границе изображения масштаб сохраняет одну и ту же величину». Доказать её сумел 38 лет спустя ученик Чебышёва Д. А. Граве; ныне данная теорема называется теоремой Чебышёва — Граве, а удовлетворяющие её условиям конформные проекции — чебышёвскими проекциями<ref>Шаблон:Книга — С. 179—183.</ref><ref>Шаблон:Книга — 1104 стб. — Стб. 740—746.</ref>.

В начале XX века развитая в работах Чебышёва и его школы теория наилучшего приближения функций переросла в конструктивную теорию функций. При этом с появлением работ Шаблон:Нп5 (1911) и С. Н. Бернштейна (1912) акценты сместились от задач индивидуального приближения функций к изучению поведения погрешностей приближения многочленами при стремлении <math>n</math> к бесконечностиШаблон:SfnШаблон:Sfn.

П. Л. Чебышёв занимался также и классическим способом приближения функций — интерполированием. В 1859 году в работе «Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближённым представлением функций» он показал, что погрешность интерполяции для функции, заданной на отрезке <math>[-1,1]</math>, минимальна, если использовать корни многочленов Чебышёва 1-го рода <math>T_n(x)</math> в качестве узлов интерполяции<ref>Шаблон:Книга — С. 133.</ref>.

Математический анализ и геометрия

Проблемам интегрального исчисления Чебышёв посвятил мемуар 1860 года<ref>Шаблон:Публикацияdx</math>|часть ссылка=http://books.google.com/books?id=TGBtAAAAMAAJ&pg=PA517%7Cзаглавие=Œuvres de P. L. Tchebychef|год=1860}}</ref>, в котором для заданного многочлена <math>x^4+\alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta</math> с рациональными коэффициентами даётся алгоритм определения такого числа <math>A</math>, что выражение <math>\frac{x+A}{\sqrt{x^4+\alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta}}</math> интегрировалось в логарифмах, и вычисления соответствующего интеграла.

К работам последнего периода деятельности Чебышёва относятся исследования «О предельных значениях интегралов» («Sur les valeurs limites des intégrales», 1873). Совершенно новые вопросы, поставленные здесь учёным, разрабатывались затем его учениками. Последний мемуар Чебышёва 1895 года относится к той же области.

Чебышёву принадлежит теорема об условиях интегрируемости дифференциального бинома, опубликованная в мемуаре 1853 года «Об интегрировании иррациональных дифференциалов». Теорема устанавливает, что интеграл

<math>\int x^m (a+bx^n)^p\,{\rm d}x\;</math>,

где <math>m</math>, <math>n</math>, <math>p</math> — рациональные числа, выражается в элементарных функциях только в трёх случаях (известных ещё в XVIII веке)<ref>Шаблон:Книга — С. 128.</ref>Шаблон:Sfn:

  • <math>p</math> — целое число;
  • <math>\frac{m+1}{n}</math> — целое число;
  • <math>\frac{m+1}{n}\,+\,p</math> — целое число.

В 1882 году П. Л. Чебышёв доказал, что для заданных на отрезке <math>[a,b]</math> монотонных функций <math>f</math> и <math>g</math> с неотрицательными значениями выполняется неравенство

<math>\int\limits_a^b f(x)\,{\rm d}x\,\int\limits_a^b g(x)\,{\rm d}x\,\; \leqslant \;\,(b-a)\,\int\limits_a^b f(x)\,g(x)\,{\rm d}x\;</math>,

причём аналогичное неравенство

<math>\sum_{k=1}^n \,a_k\,\sum_{k=1}^n \,b_k\; \leqslant \;n\,\sum_{k=1}^n \,a_k\,b_k</math>

справедливо и для конечных монотонных последовательностей неотрицательных чисел. Сейчас оба этих неравенства называют неравенствами Чебышёва<ref>Шаблон:Книга — 1248 стб. — Стб. 850.</ref>.

Ряд важных результатов, полученных П. Л. Чебышёвым, относится к ещё одному разделу математического анализа — теории ортогональных многочленов; получены они были в тесной связи с исследованиями по теории приближения функций. В 1854 году в работе «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» Чебышёв ввёл многочлены Чебышёва 1-го рода <math>T_n(x)</math> и 2-го рода <math>U_n(x)</math> и приступил к изучению их свойств (это были первые системы классических ортогональных многочленов, последовавшие за введёнными А. М. Лежандром ещё в 1785 году многочленами Лежандра)<ref>Шаблон:Книга — 1248 стб. — Стб. 840—841.</ref>Шаблон:Sfn.

В 1859 году в статье «О разложении функций одной переменной» Чебышёв ввёл две новые системы классических ортогональных многочленов. Ныне они известны как многочлены Чебышёва — Эрмита (или многочлены Эрмита) и многочлены Чебышёва — Лагерра (или многочлены Лагерра)Шаблон:Sfn; названия связаны с тем, что позднее эти многочлены изучали соответственно Ш. Эрмит (1864)<ref>Шаблон:Книга — 1248 стб. — Стб. 1016.</ref> и Э. Лагерр (1878)<ref>Шаблон:Книга — 1184 стб. — Стб. 167—168.</ref>. Все перечисленные системы ортогональных многочленов играют большую роль в математике, имея многообразные приложения. При этом Чебышёв на основе аппарата непрерывных дробей разработал общую теорию разложения произвольной функции в ряд по ортогональным многочленамШаблон:Sfn.

Дифференциальной геометрии поверхностей была посвящена статья Чебышёва с необычным названием «О кройке одежды» (1878); в ней учёный ввёл новый класс координатных сеток, получивший название «сети Чебышёва»Шаблон:Sfn.

Прикладная математика

В течение сорока лет Чебышёв принимал активное участие в работе военного артиллерийского ведомства (с 1855 года — действительный член Артиллерийского отделения Военно-учёного комитета, с 1859 года — действительный член Временного артиллерийского комитета) и работал над усовершенствованием дальнобойности и точности артиллерийской стрельбы, применяя для обработки результатов опытных стрельб методы теории вероятностей. В курсах баллистики до наших дней сохранилась формула Чебышёва для вычисления дальности полёта снаряда в зависимости от его угла бросания, начальной скорости и сопротивления воздуха при заданной начальной скорости. Своими трудами Чебышёв оказал большое влияние на развитие русской артиллерийской науки, на приобщение учёных-артиллеристов к математикеШаблон:Sfn<ref>Шаблон:Книга — С. 408—412.</ref>.

В тесной связи с работой Чебышёва во Временном артиллерийском комитете находились его исследования по квадратурным формулам. В ходе данных исследований он в 1873 году предложил новый тип квадратурных формул (квадратурные формулы Чебышёва). Эти формулы удовлетворяют дополнительному требованию равенства весов и позволяют упростить вычисления и сократить их объём, обладая следующим важным свойством: они доставляют минимум дисперсии вычисленного по ним приближённого значения интеграла (при условии, что погрешности в узлах независимы и имеют одинаковую дисперсию и равное нулю математическое ожидание)Шаблон:Sfn<ref>Шаблон:Книга — С. 98.</ref>. Чебышёв нашёл явный вид данных формул для числа узлов <math>n=2, \dots,7</math>; позднее С. Н. Бернштейн добавил к ним формулу с <math>n=9</math> и доказал, что при <math>n=8</math> и <math>n\geqslant10</math> таких формул не существуетШаблон:Sfn.

Механика

В области механики П. Л. Чебышёва интересовали вопросы прикладной механики и в особенности — теории механизмов; последней посвящено около 15 работ учёногоШаблон:Sfn<ref name="vin">Шаблон:Книга — С. 227.</ref>. Он не опубликовал ни одной работы по общим вопросам теоретической механики, однако в ряде работ его учеников (П. И. Сомов, А. М. Ляпунов, Д. А. Граве), относившихся к области теоретической механики, нашли своё отражение идеи, подсказанные их учителем. Фактически П. Л. Чебышёв возглавил после смерти М. В. Остроградского петербургскую ветвь самобытной русской школы механикиШаблон:Sfn.

Что касается теории механизмов, то историки науки выделяют три сложившиеся в России во 2-й половине XIX века научные школы в этой области: П. Л. Чебышёва в Петербурге (оформившаяся ранее двух остальных), В. Н. Лигина в Одессе и Н. Е. Жуковского в Москве. Под влиянием бесед с Чебышёвым задачами кинематики механизмов заинтересовались английские математики Дж. Сильвестр и А. КэлиШаблон:Sfn.

Синтез механизмов

Файл:Chebyshev pl 1865.jpg
П. Л. Чебышёв, 1865 год

В 1850-е годы Чебышёв заинтересовался шарнирно-рычажными механизмами, служащими для приближённого преобразования кругового движения в прямолинейное и наоборот. К числу таких механизмов относится параллелограмм Уатта, сконструированный изобретателем универсальной паровой машины Дж. Уаттом как раз для преобразования прямолинейного возвратно-поступательного движения штока (жёстко связанного с поршнем паровой машины) в качательное движение конца балансира. К середине XIX века подобных механизмов было известно немного, параметры их звеньев подбирались эмпирически, в то время как неизбежные неточности прямого хода приводили к росту потерь на трение и быстрому изнашиванию звеньевШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Чебышёв поставил задачу целенаправленного нахождения параметров искомого механизма с тем, чтобы на некотором заданном отрезке максимальное отклонение траектории рабочей точки механизма от её касательной в средней точке наименее уклонялось от нуля по сравнению с другими аналогичными траекториями. Решая данную задачу, учёный пришёл к созданию нового раздела теории приближения функций — теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. Полученные результаты Чебышёв изложил в работе «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» (1854), став основоположником математической теории синтеза механизмовШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Методы теории функций, наименее уклоняющихся от нуля, П. Л. Чебышёв применил также в работах о центробежном регуляторе (где требовалось обеспечить изохронность хода механизма) и о зубчатых колёсах (для построения при помощи дуг окружностей профиля зуба, позволяющего добиться близости отношения угловых скоростей колёс к требуемому значению)<ref name="vin"/>.

Структура механизмов

Чебышёв положил также начало теории структуры плоских механизмов. В работе «О параллелограммах» (1869) он для рычажных механизмов с вращательными кинематическими парами и одной степенью свободы вывел структурную формулу (ныне известную как «формула Чебышёва»<ref>Шаблон:Публикация — C. 33.</ref>) — тождество, которому должен удовлетворять каждый такой механизм:

<math>3m\,\,-\,\,2(n\,+\,v)\;=\;1\,\,</math>,

где <math>m</math> — число подвижных звеньев, <math>n</math> и <math>v</math> — числа соответственно подвижных и неподвижных шарниров. Через 14 лет эта формула была переоткрыта немецким механиком Шаблон:Нп5Шаблон:SfnШаблон:Sfn. В 1887 году ученик Чебышёва П. О. Сомов получил аналогичную структурную формулу для пространственных механизмовШаблон:Sfn.

Конструирование механизмов

Файл:Chebyshev linkage.gif
Перекрёстный приближённо-направляющий механизм Чебышёва

Чебышёву принадлежит создание свыше 40 различных механизмов и около 80 их модификаций. Среди них — механизмы с остановками, механизмы выпрямителей и ускорителей движения и тому подобные механизмы, многие из которых находят применение в современном авто-, мото- и приборостроенииШаблон:Sfn<ref name=Vucinich>Шаблон:Книга — P. 167.</ref>.

В конструкциях ряда механизмов, предложенных П. Л. Чебышёвым, нашли свою реализацию разработанные им методы синтеза механизмов. Здесь прежде всего заслуживают упоминания два приближённо-направляющих механизма Чебышёва, относящихся к классу шарнирных четырёхзвенников и известных под названиями лямбдаобразного и перекрёстного. В данных механизмах траектория заданной точки <math>P</math>, расположенной на шатуне (у лямбдаобразного механизма — на конце шатуна, у перекрёстного — посередине), весьма мало отличается на некотором участке от отрезка прямой. В то же время минимальное число звеньев для механизма с вращательными кинематическими парами, обеспечивающее точное прямолинейное движение для одной из своих точек, равно 6<ref>Шаблон:Книга — С. 26—27.</ref><ref>Шаблон:Книга — С. 388—392.</ref>.

На Всемирной выставке в Филадельфии в 1876 году экспонировалась сконструированная Чебышёвым паровая машина, обладавшая рядом конструктивных преимуществШаблон:Sfn.

Среди созданных Чебышёвым механизмов — «стопоходящая машина»Шаблон:Sfn, имитировавшая движение животного при ходьбеШаблон:Sfn. Эта машина была с успехом показана на Всемирной выставке в Париже в 1878 году<ref name=OU>Шаблон:Cite web</ref>Шаблон:Sfn, а в настоящее время хранится в московском Политехническом музее<ref name="isku">Шаблон:Cite web</ref>.

Модель инвалидной коляски — самокатное кресло, построенное П. Л. Чебышёвым, была показана на Всемирной выставке в Чикаго в 1893 годуШаблон:Sfn, а автоматический арифмометрШаблон:Sfn, изобретённый им и ставший первым арифмометром непрерывного действияШаблон:Sfn, хранится в Парижском музее искусств и ремесел<ref name=Vucinich />. Помимо самокатного кресла, на Чикагской выставке демонстрировались изобретённые П. Л. Чебышёвым сортировалка (механизм для сортировки зерна по массе) и семь механизмов для преобразования вращения в другие виды движения<ref name="isku"/>Шаблон:Sfn.

Вопросы образования

Файл:Chebyshev Barry Kent.jpg
Бюст П. Л. Чебышёва, МГУ

Общественная деятельность Чебышёва не исчерпывалась его профессурой и участием в делах Академии наук. В качестве члена Учёного комитета Министерства народного просвещения (1856—1873) он рецензировал учебники, составлял программы и инструкции для начальных и средних школШаблон:Sfn<ref>Шаблон:Книга — С. 312—317.</ref>.

Во 2-й половине XIX века острейшая потребность в квалифицированных технических кадрах, вызванная бурным развитием машиностроения, поставила перед российской высшей школой вопрос о значительном увеличении числа подготавливаемых инженеров-машиностроителей. Профессор Киевского университета И. И. Рахманинов предложил готовить таких инженеров на физико-математических факультетах университетов. П. Л. Чебышёв выступил против этого предложения, считая более целесообразным сосредоточить подготовку инженеров в высших технических учебных заведениях, а в университетах готовить специалистов по теоретическим (фундаментальным) наукам. Именно по этому пути — пути создания значительного числа технических вузов различного профиля — и пошла российская высшая школаШаблон:Sfn.

Ученики Чебышёва

Для Чебышёва не меньшее значение, чем конкретные научные результаты, всегда имела задача развития российской математической школы. Как отмечали Б. В. Гнеденко и О. Б. Шейнин, «П. Л. Чебышёв был не только хорошим лектором, но и замечательным научным руководителем, обладавшим редкой способностью удачно выбирать и точно ставить перед молодыми исследователями новые вопросы, рассмотрение которых обещало привести к ценным открытиям»<ref>Шаблон:Книга — С. 218.</ref>. Чебышёв стал одним из влиятельнейших членов Московского математического общества (создано в 1864 году, издавало первый в России математический журнал — «Математический сборник») и оказывал обществу значительную помощьШаблон:Sfn.

Значительный вклад в науку внесли многочисленные ученики П. Л. Чебышёва. Среди них — такие известные математики, механики и физики, какШаблон:SfnШаблон:Sfn: Шаблон:Кол

Шаблон:Конец кол

Чебышёв и его ученики сформировали ядро того научного коллектива математиков, за которым со временем закрепилось название Петербургской математической школы. В 1890 году члены данного коллектива организовали Петербургское математическое общество (действовало до 1905 года)Шаблон:Sfn.

Оценки и память

Файл:Stamp of USSR 1046.jpg
П. Л. Чебышёв. Почтовая марка к 125-летию со дня рождения. СССР, 1946 год

Заслуги Чебышёва оценены были учёным миром достойным образом. Характеристика его учёных заслуг очень хорошо выражена в записке академиков А. А. Маркова и И. Я. Сонина, зачитанной на первом после смерти Чебышёва заседании Академии. В этой записке сказаноШаблон:Sfn:

Шаблон:Начало цитатыТруды Чебышёва носят отпечаток гениальности. Он изобрёл новые методы для решения многих трудных вопросов, которые были поставлены давно и оставались нерешёнными. Вместе с тем он поставил ряд новых вопросов, над разработкой которых трудился до конца своих дней.Шаблон:Конец цитаты

Аналогичного взгляда на научный вклад П. Л. Чебышёва придерживались и другие известные математики XIX века. Так, Шарль Эрмит утверждал, что Чебышёв «является гордостью русской науки и одним из величайших математиков Европы», а Густав Миттаг-Леффлер писал, что Чебышёв — гениальный математик и один из величайших аналитиков всех времёнШаблон:Sfn.

Позднее академик В. А. Стеклов отмечал, что гений Чебышёва являет исключительный образец соединения практики с творческой, обобщающей силой увлечённого мышленияШаблон:Sfn.

Его избрали своим членом:

и другие — всего 25 различных академий и научных обществШаблон:Sfn. Чебышёв состоял также почётным членом всех российских университетов; его портрет изображён на здании математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

П. Л. Чебышёв был награждён орденами Святого Александра Невского, Святого Владимира II степени, Святой Анны I степени, Святого Станислава I степени. В 1890 году он был также награждён французским орденом Почётного легионаШаблон:Sfn.

Именем П. Л. Чебышёва названы:

Публикации

Книги

Статьи

См. также

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Навигация

Шаблон:^ Шаблон:Внешние ссылки Шаблон:ВП-порталы

Шаблон:Избранная статья